在主成分分析中

我想知道为什么数据投影到主成分上，其方差是由对应于主特征向量的特征值给出的？

我在教科书中找不到这个解释。

回答：

在主成分分析（PCA）中，你是在计算原始坐标系的旋转，使得新协方差矩阵的所有非对角元素变为零（即，新坐标是不相关的）。特征向量定义了新坐标轴的方向，而特征值对应于新协方差矩阵的对角元素（沿新轴的方差）。因此，特征值按定义决定了沿相应特征向量的方差。

请注意，如果你将所有原始数据值乘以某个大于1的常数，这将导致数据的方差（和协方差）增加。如果你随后对修改后的数据进行PCA，你计算出的特征向量将是相同的（你仍然需要相同的旋转来使你的坐标不相关），但特征值会增加，因为沿新坐标轴的数据方差会增加。