我的问题的数学描述可以表达如下：

给定一个函数Y = f(X)，其中X是输入，Y是输出。从X中采样了总共N个点，记为X[0], X[1], X[2] … X[N-1]，对应的输出为Y[0], Y[1], … Y[N-1]。问题在于，我们不知道每个X对应的Y的具体值，但知道一些Y之间的比较结果。一个已知的二进制NxN矩阵如下：

[[a00, a01, a02, ...] [a10, a11, a12, ...] ...]

a[i,j] = 1表示Y[i]>Y[j]，而a[i, j] = 0表示Y[i]和Y[j]之间没有进行比较。

我应该使用哪种机器学习模型来拟合这个矩阵，以便它能给出任意两个输入X的比较结果？

或者我可以提出一个更具体的问题：已知函数的形式为Y = f(X, a)，其中a是待优化的系数。我该如何找到最优的a，使得矩阵中的尽可能多的比较关系得以满足？

现实世界中的问题是这样的：

我正在开发一个用于科学激光设备的焦点分析器（这只是一个专用相机）的图像分析程序。激光通过一个偏轴抛物面镜聚焦（你可以将其视为一个凸透镜），需要大量的微调才能获得更好的焦点。镜子的位置和旋转可以通过步进电机控制（总共有6个轴），焦点可以通过焦点分析器查看。目前，所有调节都必须手动进行，最终目标是开发一个自动闭环调节程序。

我程序当前的问题是确定焦点的质量。相机提供焦点的2D图像，但由于焦点的方面太多（腰半径、峰值强度、椭圆度等），定义一个质量函数并不简单。通常的手动流程是稍微改变镜子的一个轴，看看焦点是否比之前有所改善。这需要每隔几天重复多次，因此进行了大量的比较。这些比较是由人完成的，我希望训练我的程序能够像人一样进行比较。调节程序也期望像人一样进行调节：它尝试改变镜子的一个轴，比较新的焦点与之前的焦点，如果更好，则继续改变同一个轴，如果更差，则撤销更改或切换到另一个轴。

作为备选方案，我开发了一些数学模型来根据腰半径(r)、峰值强度(I)、椭圆度(e)等来确定质量。例如，一个简单的模型是这三个的线性组合：

y = w1*r + w2*I + w3*e

但w1, w2, w3的最优值需要确定。使用人类的比较结果，我希望找到最优的w1, w2, w3，使得尽可能多的比较关系得以满足。

我已经研究了scikit-learn和其他一些库提供的算法，但看起来回归模型是基于Y的具体值，而不是它们之间的比较关系。那么，是否有适合我问题的机器学习模型？

回答：

这篇论文展示了如何“设计全参考图像质量评估算法”的工作，通过机器学习，它可能会帮助你弄清楚如何使用你的数据以及如何定义哪些特征使你的图像优于另一个（在这种情况下，他们使用SVM）。

我认为卷积神经网络也可以适应你的目的，因为CNN特别擅长处理图像（检测特征、分类等）。所以我建议你阅读相关内容。

你拥有和可以拥有的数据量（通过数据增强）可以作为选择最佳选项的标准之一。

希望这对你有帮助，并祝你的项目成功。