我们使用HMM（隐马尔可夫模型）来在一个有风且传感器损坏的迷宫中定位机器人。如果他尝试朝某个方向移动，他会以高概率成功移动，并有低概率意外地向两侧移动。如果他的移动会使他越过障碍物，他会弹回到原来的位置。

从任何给定的位置，他可以向四个方向感知。如果某个方向有障碍物，他会以高确定性注意到它，而在没有障碍物时，他会以低确定性看到障碍物。

我们有一个概率地图，显示机器人在迷宫中可能存在的所有位置，因为他知道迷宫的布局。最初，所有位置的概率是均匀分布的。

我已经完成了运动和感知方面的任务，并且得到了正确的结果，但我在平滑（后向算法）上遇到了困难。

假设机器人执行以下一系列动作：感知、移动、感知、移动、感知。这为我们的HMM模型提供了3个状态。假设到目前为止，每一步的结果都是正确的。

我遇到了很多麻烦，无法执行平滑（后向算法），因为有四个条件概率（每个方向一个）。

假设SP代表平滑概率，BP代表后向概率

假设Sk代表一个状态，Zk代表该状态的观测。我的问题在于如何构建我的后向方程，因为每个Zk仅适用于单一方向。

我知道平滑的算法是：SP(k)与BP(k+1) * P(Sk | Z1:k)成比例

其中BP(k+1)定义为：

如果(k == n)返回1，否则返回BP(k+1) * P(Zk+1|Sk+1) * P(Sk+1=s | Sk)的总和

这就是我遇到麻烦的地方。主要是在这个方程的条件概率部分。因为每个位置有四个不同的方向需要观察！换句话说，每个状态有四个不同的证据变量，而不是只有一个！我应该平均这些值吗？我应该为它们做一个单独的总和吗？我如何考虑在一个给定状态下的多个观测，并将其正确地压缩到这个只有一个条件概率的方程中？

这是我执行平滑的代码：

public static void Smoothing(List<int[]> observations) {        int n = observations.Count; //n是证据序列的总长度        int k = n - 1;              //k是我们试图平滑的状态。从n-1开始        for (; k >= 1; k--) {       //平滑回第一个状态            for (int dir = 0; dir < 4; dir++) {                //我们必须分别平滑每个方向                SmoothDirection(dir, observations, k, n);            }            Console.WriteLine($"Smoothing for k = {k}\n");            UpdateMapMotion(mapHistory[k]);            PrintMap();        }    }    public static void SmoothDirection(int dir, List<int[]> observations, int k, int n) {        var alphas = new double[ROWS, COLS];        var normalizer = 0.0;        int row, col;        foreach (var t in map) {            if (t.isObstacle) continue;            row = t.pos.y;            col = t.pos.x;            alphas[row, col] = mapHistory[k][row, col]                 * Backwards(k, n, t, dir, observations, moves[^(n - k)]);            normalizer += alphas[row, col];        }        UpdateHistory(k, alphas, normalizer);    }    public static void UpdateHistory(int index, double[,] alphas, double normalizer) {        for (int r = 0; r < ROWS; r++) {            for (int c = 0; c < COLS; c++) {                mapHistory[index][r, c] = alphas[r, c] / normalizer;            }        }    }    public static double Backwards(int k, int n, Tile t, int dir, List<int[]> observations, int moveDir) {        if (k == n) return 1;        double p = 0;        var nextStates = GetPossibleNextStates(t, moveDir);        foreach (var s in nextStates) {            p += Cond_Prob(s.hasObstacle[dir], observations[^(n - k)][dir] == 1) * Trans_Prob(t, s, moveDir)                 * Backwards(k+1, n, s, dir, observations, moves[^(n - k)]);         }        return p;    }    public static List<Tile> GetPossibleNextStates(Tile t, int direction) {        var tiles = new List<Tile>();                   //下一状态        var perpDirs = GetPerpendicularDir(direction);  //垂直方向        //如果Tile t前方或侧面有障碍物，Tile t是可能的下一状态。        if (t.hasObstacle[direction] || t.hasObstacle[perpDirs[0]] || t.hasObstacle[perpDirs[1]])            tiles.Add(t);        //如果Tile t前方没有障碍物，那么那个位置是可能的下一状态。        if (!t.hasObstacle[direction])            tiles.Add(GetTileAtPos(t.pos + directions[direction]));        //如果Tile t的侧面没有障碍物，那么那些位置是可能的下一状态。        foreach (var dir in perpDirs) {            if (!t.hasObstacle[dir])                tiles.Add(GetTileAtPos(t.pos + directions[dir]));        }        return tiles;    }

简而言之：当每个状态有4个证据而不是1个时，如何在隐马尔可夫模型中执行平滑（后向算法）？

回答：

已解决！

实际上，这比我想象的要简单得多。

我实际上不需要在每个方向上分别进行每次迭代。

我只需要用Joint_Cond_Prob()函数替换Cond_Prob()函数，后者可以找到给定状态下所有方向观测的联合概率。

所以P(Zk|Sk)实际上是P(Zk1:Zk4|Sk)，也就是P(Zk1|Sk)P(Zk2|Sk)P(Zk3|Sk)P(Zk4|Sk)