我有两个计算“余弦相似度”的公式，它们有什么区别？

我在进行一个关于电影数据集的余弦相似度的项目，我对计算余弦相似度的公式感到困惑。

但我在网上搜索时，发现有些文章显示分母是这样的形式：sqrt(A1^2+B1^2) * sqrt(A2^2+B2^2) * … * sqrt(Ai^2+Bi^2)

我很困惑，它们有什么区别？哪一个是正确的，还是它们都正确？

回答：

你图片上的那个公式是正确的。在二维情况下，它是基于余弦定理推导出来的，该定理将三角形的一条边的长度与另外两条边的长度以及对边c的角度theta相关联：

c^2==a^2+b^2-2*b*c(cos(theta))

你可以通过多种方式证明这一点，一个很好的验证方法是知道当cos(gamma)==0（边a和b正交）时，你会得到勾股定理。要得到图片上的公式，你需要将其转换为解析几何（向量）

norm(A-B)^2==norm(A)^2+norm(B)^2−2*norm(A)*norm(B)*cos(theta)

通过使用norm(A-B)^2的定义(A-B)*(A-B)并展开，我们得到

norm(A-B)^2 ==norm(A)^2+norm(B)^2-2*A*B

因此，将两个表达式等同，并进行消元，得出

norm(A)*norm(B)*cos(theta) = A*B

这正是你定义中的（重新排列的）公式（以及norm(v) = sqrt(v*v)）。在n维情况下，你可以证明这是有效的，因为旋转欧几里得空间会保持范数和内积不变，并且由向量张成的二维平面只是xy平面的旋转。

一个很好的健全性检查是，再次验证正交性会产生0的余弦值，并且余弦值在0和1之间（这是柯西-施瓦茨不等式）。

更新：在你评论中提到的例子中，你可以通过运行博客中的代码来查看结果

import sklearn.metrics.pairwise as pwprint(pw.cosine_similarity([[4,3]],[[5,5]]))print(pw.cosine_similarity([[4,3,5]],[[5,5,1]]))

请注意，如果你运行：

from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_distancesprint(pairwise_distances([[4,3,5]],[[5,5,1]],metric='cosine'))

你会得到0.208而不是0.792，这是因为pairwise_distance使用余弦度量时给出的是1-cos(theta)（请注意0.208 + 0.792等于1）。你进行这种转换是因为在讨论距离时，你希望从一个点到自身的距离为0。

学技术