我注意到，当对特定数据集（矩阵）使用独热编码并将其用作学习算法的训练数据时，与直接使用原始矩阵作为训练数据相比，预测准确性有了显著提高。为什么会出现这种性能提升？

回答：

许多学习算法要么为每个特征学习一个权重，要么使用样本之间的距离。前者适用于线性模型，如逻辑回归，这种模型易于解释。

假设你有一个数据集，仅包含一个分类特征“国籍”，其值为“英国”、“法国”和“美国”。假设这些值分别编码为0、1和2。在线性分类器中，你为这个特征设置一个权重w，它将基于约束w×x + b > 0或等价的w×x < b做出某种决策。

现在的问题是，权重w无法编码三选一的选择。w×x的三个可能值是0、w和2×w。这三者要么导致相同的决策（它们都< b或≥b），要么“英国”和“法国”导致相同的决策，要么“法国”和“美国”导致相同的决策。模型无法学习到“英国”和“美国”应该被赋予相同的标签，而“法国”是例外的情况。

通过独热编码，你实际上将特征空间扩展到三个特征，每个特征都有自己的权重，因此决策函数现在变为w[UK]x[UK] + w[FR]x[FR] + w[US]x[US] < b，其中所有x都是布尔值。在这个空间中，这样的线性函数可以表达任何可能性之和/析取（例如，“英国或美国”，这可能是预测某人讲英语的指标）。

同样，任何基于标准距离度量（如k近邻）的学习器在没有独热编码的情况下也会感到困惑。使用原始编码和欧几里得距离，法国和美国之间的距离是1。美国和英国之间的距离是2。但使用独热编码，[1, 0, 0]、[0, 1, 0]和[0, 0, 1]之间的成对距离都等于√2。

这并不适用于所有学习算法；决策树及其衍生模型如随机森林，如果足够深，可以在没有独热编码的情况下处理分类变量。