我在模拟汉诺塔问题，涉及n个圆盘和k个柱子，试图找出其最大分支因子。问题在于，由于圆盘和柱子的数量是可变的，每个节点可能的动作数量也是可变的。我如何找到一种通用的方法来评估依赖于k和n的最大分支因子？

回答：

一般来说，最小的圆盘可以移动到任何其他柱子：有k-1种选择。

第二小的圆盘（在柱子顶部的圆盘；可能不是整体第二小的）可以移动到除了最小圆盘所在柱子之外的任何柱子：有k-2种选择。

这种情况一直持续到柱子顶部最大的圆盘，它无法移动到任何地方（假设n>k）。

因此，预期的分支因子是：(k-1)+(k-2)+(k-3)+…+2+1 = (k-1)*k/2

唯一不会得到这个结果的情况是当其中一个柱子没有圆盘时。如果n>>k，这种情况很少发生。但是，这意味着如果你从随机状态搜索到目标状态，你应该考虑反向搜索，因为标准目标状态具有最低的分支因子，因为只有一个柱子有一个圆盘。

n < k的情况可以进行类似的分析，只是你会在n个圆盘后停止，并减去第一次计算时计入但现在不可用的移动的额外项：

k(k-1)/2 – (k-n)(k-n-1)/2