我目前正在阅读彼得·诺维格的《人工智能现代方法》第15章关于时间上的概率推理，无法理解过滤和预测的推导过程（第572页）。

基于到时间t的过滤结果，智能体需要从新的证据e_t+1计算t+1时刻的结果，

P(X_t+1|e_1:t+1) = f(e_t+1, P(X_t|e_1:t))，

其中f为某个函数。这被称为递归估计。我们可以将计算视为由两部分组成：首先，当前状态分布从t投影到t+1；然后使用新的证据e_t+1进行更新。当公式重新排列时，这个两部分过程就显得很简单：

P(X_t+1|e_1:t+1) = P(X_t+1|e_1:t, e_t+1)     (将证据分开)
= α P(e_t+1|X_t+1, e_1:t) P(X_t+1|e_1:t)     (使用贝叶斯定理)

使用贝叶斯定理如何得到最后的公式？难道不应该是

α P(e_1:t, e_t+1|X_t+1) P(X_t+1)

回答：

它们都是正确的，只是两个公式中的α不相同。诀窍在于诺维格在应用贝叶斯定理时，始终保持对e_1:t的条件不变。只要想象一开始它就不存在，你仍然会得到所有这些等式。然后将这个条件应用到方程的每一部分，所有等式都将成立。

另一种方法是，不直接使用贝叶斯定理，而是使用联合概率和条件概率的定义（即，P(A|B)P(B)=P(A,B)=P(B|A)P(A)）。

P(X_t+1|e_1:t, e_t+1) P(e_t+1,e_1:t) = P(e_1:t, e_t+1|X_t+1) P(X_t+1)

展开两边的联合概率得到

P(X_t+1|e_1:t, e_t+1) P(e_t+1|e_1:t) P(e_1:t) = P(e_t+1|X_t+1,e_1:t) P(e_1:t|X_t+1) P(X_t+1)

右边的最后两个项可以重写为

P(X_t+1|e_1:t, e_t+1) P(e_t+1|e_1:t) P(e_1:t) = P(e_t+1|X_t+1,e_1:t) P(X_t+1|e_1:t) P(e_1:t)

现在P(e_1:t)可以抵消（假设非零），我们得到

P(X_t+1|e_1:t, e_t+1) = α P(e_t+1|X_t+1,e_1:t) P(X_t+1|e_1:t)

其中α = 1 / P(e_t+1|e_1:t)。