为了简化起见，我们仅考虑单一代理的Kripke结构，其知识由模态算子K描述。我们知道，在所有K通过等价关系解释的相应Kripke结构中，对于任何公式A
a) 公式KA -> A（知识公理）是有效的，
b) 但公式A -> KA和¬KA不是有效的。
利用这些事实来证明模态算子K的这种行为不能通过任何布尔函数（即通过真值表定义的真值）来编码。
提示：假设KA的真值可以使用K的真值表从A的真值计算得出（就像¬A从A计算得出一样）。考虑K的所有可能的真值表，并证明它们中没有一个能满足上述提到的属性a)和b)。
我不理解那个提示…制作K的真值表就像构建否定符号¬的真值表，在我看来这没有意义，我认为只有在否定某物时才有意义，而不仅仅是否定
回答：
考虑K的所有可能的真值表：
| A | K₁A | K₂A | K₃A | K₄A |—————————————————————————————| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |—————————————————————————————| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |证明它们中没有一个能满足上述提到的属性a)和b)。
情况1
| A | KA | KA->A | A->KA | ¬KA |—————————————————————————————————| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |—————————————————————————————————| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |在这种情况下，KA->A不是重言式。
情况2
| A | KA | KA->A | A->KA | ¬KA |—————————————————————————————————| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |—————————————————————————————————| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |在这种情况下，A->KA是重言式。
情况3
| A | KA | KA->A | A->KA | ¬KA |—————————————————————————————————| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |—————————————————————————————————| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |在这种情况下，KA->A不是重言式。
情况4
| A | KA | KA->A | A->KA | ¬KA |—————————————————————————————————| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |—————————————————————————————————| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |在这种情况下，¬KA是重言式。
K的期望行为能否通过多值矩阵编码？
对于必然模态系统，答案如下：
- 3个值是不够的，
- 4个值对于所谓的基本模态逻辑来说是足够的，
- 任何有限数量的值对于语法上“完整”和演绎上“自然”的模态系统来说都是不够的。
参见，例如，Jean-Yves Beseau的文章中的介绍部分。
我希望这些结果对认识论模态系统也适用。
