设 x_t = F(x_{t-1}) 是一个在混沌状态下的离散时间单一动力系统。

从初始条件 x_0 开始，我们可以生成一个时间序列 x_t，其中 t =1,2,...,T 表示时间索引。
如果 x_t 大于 c，则 s_t = 1，否则 s_t = 0，其中 c 是一维映射的均值。因此，映射 F 的每次迭代都会产生一个新符号。将0和1的序列放入符号向量中，我们得到 {s} = s_0s_1s_2....

现在，假设我们有一个三维系统，设 d=3。设第一坐标称为 x，第二坐标为 y，第三坐标为 z，形成多维系统 (x,y,z)。我的问题是如何获得这种情况下的符号动力学？

示例：

          x = 0.1, 0.45, 0.6,....,          y = 0,   0.1, 0.45, 0.6,.....          z = 0,    0,   0.1, 0.45,...

每个维度是否会有符号序列，还是会为点 (x,y,z) 分配一个符号？一个解释将非常有助于澄清概念并进行编程。使用任何其他现有技术分配符号的解决方案也将是有用的。

回答：

在通信中，每个点会得到一个符号。

在你的情况下，你有一个维度中的两个 1 bit 符号，每个符号有一个坐标。

但没有什么能阻止你在一个维度中拥有2位符号，比如：

X=[ -c -c/3 c/3 c ]

你通过选择最接近的坐标来绘制决策边界。

[ x<-2c/3, -2c/3<x<0, 0<x<2c/3, 2c/3<x]

同样的原则适用于多维问题，即对于两个维度和两个位的符号，你可以这样分配：

   (-c -c ) == 00   (-c  c ) == 01   ( c -c ) == 10   ( c  c ) == 11

请注意，你需要至少 2 bit 符号来理解这一点，否则你可以将其投影到一维。

现在是棘手的部分：只有当你的维度之间没有相关性时，你才能利用边界上的独立性

由通道（或噪声）引入的相关性意味着决策边界

[ x<0 y<0, x<0 y>0, x>0 y<0, x>0 y>0 ]

不会是最优的。

另一方面，如果你可以假设维度独立性，很容易看出一个好的符号分配（如我所做的），可以轻松实现你所说的 每个维度的符号序列

{s}={ s_0, s_1, ... }{s}={ deco(X_0), deco(Y_0), deco(X_1), deco(Y_1) ... }

其中

deco(x){ return( x > 0) }