我正在尝试理解我的AI教科书中的一段文字，需要一些帮助。

本质上，我的问题是，如果定义一个函数需要 2^n 位，为什么在 n 个属性上有 2^(2^n) 个函数？

以下是来自课本的段落（来源：AI: A Modern Approach, Stuart Russell and Norvig）：

决策树对于某些类型的函数是好的，而对于另一些类型的函数则不好。是否存在一种表示方式，对于所有类型的函数都有效？不幸的是，没有。我们可以用一种非常普遍的方式来证明这一点。考虑 n 个属性上的所有布尔函数的集合。这个集合中有多少个不同的函数？这只是我们可以写下的不同真值表的数量，因为函数是由它的真值表定义的。真值表有 2^n 行，因为每个输入案例都由 n 个属性描述。我们可以将表格的“答案”列视为一个2^n 位数，它定义了函数。无论我们使用什么函数表示法，某些函数（实际上几乎所有函数）都至少需要那么多位来表示。

如果定义一个函数需要 2^n 位，那么在 n 个属性上有 2^(2^n) 个不同的函数。

第二个问题是：为什么我们需要 2^n 位数（见上面粗体部分），我以为我们只需要 n 位数，例如，如果我们有 3 个属性，我们可以定义 2^3=8 个函数，因此只需要 3 位来定义所有 8 个函数（000、001、010、011 等）。

我已经考虑了一段时间了，不确定我忽略了什么，感谢您花时间研究这个问题！

回答：

我想我明白了，而且我认为你的答案可能有一个错误…

让我根据我对你的 3 个属性示例的理解来解释一下…

n = 3

第 1 行 000

第 2 行 001

第 3 行 010

…

第 8 行 111

函数 0：对于每一行都是假，因此 0 0 0 0 0 0 0 0（8 个 ‘0’，因为有 8 行）

函数 1：对于第 1 行为真，其余为假：00000001

函数 2：对于第 2 行为真，其余为假：00000010

…

因此有 2^8 个函数，即 2^(2^3) 即 2^(2^n)。

对吗？