我明白如何使用大O的定义来证明f(n)是O(n)或O(n^2)，但对于O(2^n)我感到困惑。你能帮我证明2^n + n^3 + 30是O(2^n)吗？大一AI专业，我喜欢所有内容，但复杂度让我头疼！

回答：

我不会为你解决这个问题，因为这听起来像是作业。但我会解决一个你已经知道如何解决的问题，然后试图说服你，这个问题并没有什么不同。

所以，回忆一下，当我们试图证明某个函数，称之为f(n)，属于另一个函数的Big-Oh，称之为g(n)时，我们在做什么。我们试图证明，在某个常数因子的范围内，并且当n变大时，f(n)永远不会比g(n)差。我们通过选择两个数字，c和n₀来做到这一点。第一个，c，就是我之前提到的那个“常数因子”。我们将f(n)和g(n)按如下方式关联：

f(n) ≤ c g(n)，对所有n ≥ n₀成立

重要的是，c和n₀并不是唯一的。通常，你可以几乎任意选择一个，然后通过简单的代数计算出另一个的值。所以我们用下面的函数来尝试：

f(n) = n² + 5n + 10

g(n) = n²

首先我们根据我们的常数因子c设置关系：

n² + 5n + 10 ≤ c n²

现在我们想让c单独出来，与n的某个其他函数相关，所以只需将n²从两边除掉：

1 + 5/n + 10/n² ≤ c

我们想知道什么值的n（我们称之为n₀）使得这个对于所有更大的n值都成立。嗯，我们可以选择一个c并求解n，或者选择一个n₀并求解c。这并不重要，但我们选择n₀ = 1，只需在看到n的地方都替换成1，看看会发生什么：

1 + 5/1 + 10/1 = 1 + 5 + 10 = 16 ≤ c

这就是我们的答案：如果我们选择c为16，那么每当n大于1时（即，n₀ = 1），f(n)将小于g(n)。

那么，你能用你试图解决的问题来做这个吗？嗯……为什么不能呢？我们有两个函数，f(n)和g(n)。我们试图证明与你知道如何解决的问题完全相同的关系。唯一改变的是函数的类型，从n的多项式变为n的指数函数（和一个混合的）。但这重要吗？嗯，代数看起来会有点不同，但那又怎样？它还是代数。