在典型的聚类问题中，数据点x的概率为p(x) = sum_k p(k)p(x|k)，其中k是指定x所属聚类的潜在变量。我们可以使用EM算法来最大化训练数据集的目标函数的对数似然：sum_n log (sum_k p(k)(p(x|k)))。

我想知道EM算法是否可以解决涉及两组潜在变量的问题，即p(x) = sum_k sum_l p(x|k, l)p(k)p(l)？如果可以，我们该如何操作呢？

如果所有概率分布都是Sigmoid函数呢？

回答：

这应该只是EM算法的直接应用，作为解决隐藏数据问题的一种方法——隐藏数据是每一步中k和l的底层值。在E步，你计算期望对数似然，考虑每对可能的(k,l)值，使用给定数据和当前参数设置的概率作为权重。在M步，你找到最大化这个期望对数似然的参数。这与将(k,l)对编码为单一索引m非常相似，只是p(k)p(l)中的结构比p(m)中的结构更多，这会对M步产生轻微的影响。

如果概率是Sigmoid函数——或者任何其他概率分布——EM算法的理由仍然成立：每一步都会增加或保持对数似然不变。然而，如果优化问题变得更难，你可能会发现M步的计算成本会增加。